対象読者
数学の「ならば」の真理値表について、以下のように思う方
- 約束事として受け入れるのが気持ち悪い
- その定義の妥当性を理解し、なぜそう約束したか納得したい
結論
数学の「ならば」の定義である真理値表を眺めても、日常会話の「ならば」とは全く異なるように見える。 なぜこの真偽の羅列が「ならば」を表すことになるのだろうか。
これを理解するポイントは「寛容の原則」という、論理学の原則にある。
以下では、
- 数学の「ならば」は日常会話のそれをガッツリ反映していること
- 数学の「ならば」への勘違いの例
を確認し、論理の要である「ならば」への理解を深める。
まずは、数学における「ならば」の定義を確認する。
数学の「ならば」の定義
数学における「ならば \(\Rightarrow\)」は２つの真理値 \(P\)、\(Q\) の入力に対して、 １つの真理値を出力する2項演算子だ。
\(P\) と \(Q\) を「命題」とする。 命題とは真か偽かのいずれかとして判断できる文のことだ。
\({1, 2, \dots}\) を自然数というのと同じで、真や偽を「真理値」という。
真理値は2通りある。 よって、\(P\) と \(Q\) の演算は \(2 \times 2 = 4\) 通りある。 以下に \(\Rightarrow\) の入出力の対応表をまとめる。これを真理値表という。
| \(P\) | \(Q\) | \(P \Rightarrow Q\) | |
|---|---|---|---|
| ① | 真 | 真 | 真 |
| ② | 真 | 偽 | 偽 |
| ③ | 偽 | 真 | 真 |
| ④ | 偽 | 偽 | 真 |
これが数学における「ならば」の定義だ。
日常会話の「ならば」を「\(\Rightarrow\)」に当てはめる
この表のどこが「ならば」なのか意味不明だ。 そこで、日常会話の具体例を当てはめてこの真理値表の意味を考えてみる。
父が息子に対して、
「テストでいい点数をとったならば、ゲームを買ってあげよう」
と言ったとする。この発言を\(R\)とする。
この文を表1に当てはめてみると、
- \(P\)は「息子がテストで良い点数を取る」
- \(Q\)は「父が息子にゲームを買ってあげる」
- \(R\)は、\(P \Rightarrow Q\)
に対応する。
真理値表の４つの状況(表１の①から④)を以下で考察する。
表1.①の場合(\((P, Q, R) = (真, 真, 真)\))
これは妥当だ。 息子はいい点数を取り、父はそれにしっかり報いた訳だ。 このとき、発言は正しいだろう。
表1.②の場合(\((P, Q, R) = (真, 偽, 偽)\))
これも妥当だ。息子はいい点数を取ったにも関わらず、父はゲームを買ってあげなかった。 当然、息子は父の発言に対して、「お父さんの嘘つき！」と思うだろう。
表1.③の場合(\((P, Q, R) = (偽, 真, 真)\))
これは妥当か微妙だ。
息子が悪い点数を取ったのに、父はゲームを買ってくれたのだ。 お父さんチョロいわ～。 発言は嘘に思える。表1.③の取り決めはおかしい。
一方、父の慈悲により、残念な結果だったがゲームを買ってあげた、という場合もあり得そうだ。 この時、父の発言を嘘というのは厳しすぎる気もする。
そもそも、「前提の通りじゃないので、その結論がどうなろうが知ったことではない。俺は嘘はついてない。」 と言われたら、なるほど一理ある。
表1.④の場合(\((P, Q, R) = (偽, 偽, 真)\))
これは妥当だ。 息子が悪い点数を取り、父はゲームを買ってあげなかった。当然だ。
「ならば」の真理値表への疑問
以上より、数学のならば「\(\Rightarrow\)」の真理値表(表1)の定義は日常会話の「ならば」の語感を反映していることを確認した。
しかし、表1.③についてのみ疑問が残った。 表1.③の発言\(R\)は真か偽のどちらと定義すべきか。
ここで「寛容の原則」の出番である。
命題を疑ったら真偽が判定できなくなる
一見、真偽が明らかに思える主張でもそれを掘り下げると、自信をもって真偽を判定できなくなってしまう。
例えば、以下の主張の真偽について考える。
- 日本の首都は東京である
- 今日は良い天気ですね
1.については一見、正しいように思われる。 しかし、それはいつの時代なのか。 平安時代ならこの主張は偽となるし、先史時代ならばそもそも首都と言えるようなところがあったのかも分からない。 また、「東京」という語は何を意味しているだろうか。偏屈が過ぎるが、その話者特有の造語かもしれない。
2.についてはどうだろう。 雲1つない快晴ならば良い天気だと断言できるだろう。 しかし、今日は確かに晴れてはいるがまばらに曇っているぞ。 そもそも”良い天気”の定義は？ 何％の雲までがいい天気なのだろうか…。
このように、主張を疑いだしたらキリがないし話ができなくなる。
寛容の原則が数学と日常の「ならば」を繋ぐ
だから、なるべくその文が正しくなるよう寛容に解釈する。 厳密にはどうかはさておき、明らかに偽と言えないならば真であると見做そうよ。 これが寛容の原則だ。
表１.③は前提がそもそも偽で成り立ってないんだから結論が真であろうとも発言自体は嘘じゃないと寛容に考えようよ。 ということで、「ならば」を表1と定めるわけだ。
日常語で「ならば」を別の言い回しに変えたり論理演算子としての言い換えをしてみると、 この真理値表に日常の「ならば」が潜んでいることがもっと分かるかもしれない (詳細はこちら)。
空虚なる真 Vacuous Truth
因みに、このように前提が偽のときに「ならば」が真となることを 空虚な真(Vacuous Truth) と呼ぶ。 カッコいいね。
結論が真でも前提が偽のときは問答無用で「ならば」を真とするなんて違和感はないだろうか。 以降でその違和感の正体を解説する。
「ならば」の間違った捉え方
表1の定義を知らない大学生に「ならば」の真理値表を考えてもらうと、以下のような回答が多いみたいだ。 その真理値表は数学の定義とは食い違っている(赤文字の部分)。
| \(P\) | \(Q\) | \(P \Rightarrow Q\) | |
|---|---|---|---|
| ① | 真 | 真 | 真 |
| ② | 真 | 偽 | 偽 |
| ③ | 偽 | 真 | 偽 |
| ④ | 偽 | 偽 | 真 |
その大学生たちは以下のような場面を想定してこの表を考えたと思われる。
約束に関する場面
以下のような発言があるとする。
- レポートを提出すれば、単位をあげるよ
- 身代金を支払えば、人質は解放する
この発言を表2.③に当てはめると、
- レポートを提出しなかったのに、単位がもらえた
- 身代金を支払っていないのに、人質が解放された
となり、これらの発言を嘘だと大学生は見なしたようだ。 確かにこれらは変だ。
「ならば\(\Rightarrow\)」と「同値\(\Leftrightarrow\)」の混同
上で考えた状況は取引の場面である。 なので、彼らは以下のように、暗に、逆方向の「ならば」も考えてしまっていたのだ(\(Q \Rightarrow P\))。
- 単位が欲しいならば、レポートを出せ
- 人質を解放して欲しいならば、身代金を払え
\(P \Rightarrow Q\)と\(Q \Rightarrow P\)を同時に満たすような関係を「同値」といい、 「\(P \Leftrightarrow Q\)」と表す。 同値は両辺の真理値が同じだった場合は真を、異なる場合は偽を返す。 表2は実は、同値の真理値表だったのだ。
結び
日常会話はフワッとしたところがあるので「ならば」と「同値」を混同するような事が起きたりして、 空虚な真にビックリしたりするだろう。
対して、数学の論理記号はこのような日常言語の曖昧さを排除し、誤解を減らしてくれる。 そして、数学の「ならば」は日常言語と乖離した謎の呪文ではなく、日常言語に根差したものである。
参考
- 論理学入門 [三浦 俊彦]