Mathematics

対象読者 合成関数の微分がイメージできない方 合成関数の微分の手順ではなく、意味を理解したい方 結論 合成関数の微分のことを「なんか分子分母を付け足して微分を展開できること」だと思ってはいないだろうか。以下の式展開は、\(dy\)を分子分母に付け足しているだけに見える。 ...

コンピュータではデータを二進数で表現する。 では、その足し算はどのような回路で実現されているのだろうか。 本当は複数桁の2進数の足し算 を考えたいところである。 しかし、まずは最小の、1桁同士の2進数の簡単な足し算について考えるべきだろう。 難しい問題は分割して、より簡単な小さい問題から考えるとよいからだ。 そして、これを実現する回路が「半加算回路」である。 ...

半加算回路は、 1桁の2進数を足し合わせて和と繰り上がりを求められる。 しかし、これだけでは複数桁の足し算はできない。 そこで必要になるのが「全加算回路」である。 ...

対象読者 高校数学で挫折する理由を知りたい方 数学の勉強へのヒントを得たい方 結論 算数は得意だったのに数学で挫折する人は多い。 進級・進学に伴い、どんどん難しくなっていく数学。あぁ、算数は簡単だったのに。。。 ...

必要条件？十分条件？どっちがどっち？ややこしい。 本記事では、「必要」や「十分」と名付けた理由や語感を数学的に明らかにする。 その上で、「必要条件」「十分条件」を日常会話で使いこなす勘所を解説する。 ...

小学校の先生は忙しかったので、 「1 + 2 + … + 100を求めよ。」という解くのに時間がかかる問題を出した。 しかし、ガウス君は即答した。 5050だと。 101が50個あるからだ。 ...

数学の「ならば」の定義である真理値表を眺めても、日常会話の「ならば」とは全く異なるように見える。 なぜこの真偽の羅列が「ならば」を表すことになるのだろうか。 ...

対象読者 ガウスの発散定理を視覚的に理解し、しっかり暗記したい方 結論 ガウスの発散定理は、 湧き出し量についての表面積視点と体積視点の言い換え 微小要素が打ち消し合って、外側の値だけが残る という２点を理解すれば、公式を忘れても、即座に導出できる(ストークスの定理の理解も同様)。 ...

対象読者 ストークスの定理を視覚的に理解し、しっかり暗記したい方 結論 ストークスの定理は、 回転量についての経路視点と面積視点の言い換え 微小要素が打ち消し合って、外側の値だけが残る という2点を理解すれば、公式を忘れても、即座に導出できる(ガウスの発散定理の理解も同様)。 ...

対象読者 論理学の背景を知りたい方 結論 論理学とは、人類共通の思考方法を形式化し、その性質を研究する学問である。その基礎となるのは、真理値と呼ばれる真か偽かいずれかをとる値である。 ...

空集合はあらゆる集合に含まれる。なぜなのか。 そう決めれば都合がいいから 対偶で証明できる などと説明されがちであるが、否！ 定義を追えば普通に証明できる。 空集合特有の約束事や対偶なぞ必要ない。 ...

半加算回路はAND・OR・NOTだけで表現できた。 では、この3種類の回路をすべて用意しなければならないのだろうか。 実は、ANDとNOTを組み合わせたNAND回路だけでもAND・OR・NOTをすべて構成できる。 つまり、半加算回路も理論上はNANDだけで作れる。 ...

対象読者 数学の「論理と集合」が分かる方 結論 本記事では、 自然数と偶数の数は同じ 自然数と奇数の数は同じ であることをそれぞれ示す。 偶数と奇数と自然数が同じ要素数というのは、「部分と全体と同じサイズ」という直感に反する異常事態である。 例えば、人口を男性と女性に分けたとき、男性と女性は全人口よりも少なくなるのが当たり前の感覚だ。 ...

対象読者 高校数学の「論理と集合」が分かる方 結論 自己言及とは、「この主張は○○だ」のように自身を含む主張のことだ。このような主張はおかしな結論を導く。これが自己言及のパラドックスだ。 ...