Mathematics

対象読者 高校数学で挫折する理由を知りたい方 数学の勉強へのヒントを得たい方 結論 算数は得意だったのに数学で挫折する人は多い。 進級・進学に伴い、どんどん難しくなっていく数学。あぁ、算数は簡単だったのに。。。 ...

必要条件？十分条件？どっちがどっち？ややこしい。 本記事では、「必要」や「十分」と名付けた理由や語感を数学的に明らかにする。 その上で、「必要条件」「十分条件」を日常会話で使いこなす勘所を解説する。 ...

小学校の先生は忙しかったので、 「1 + 2 + … + 100を求めよ。」という解くのに時間がかかる問題を出した。 しかし、ガウス君は即答した。 5050だと。 101が50個あるからだ。 ...

数学の「ならば」の定義である真理値表を眺めても、日常会話の「ならば」とは全く異なるように見える。 なぜこの真偽の羅列が「ならば」を表すことになるのだろうか。 ...

対象読者 合成関数の微分がイメージできない方 合成関数の微分の手順ではなく、意味を理解したい方 結論 合成関数の微分のことを「なんか分子分母を付け足して微分を展開できること」だと思ってはいないだろうか。以下の式展開は、\(dy\)を分子分母に付け足しているだけに見える。 ...

対象読者 ガウスの発散定理を視覚的に理解し、しっかり暗記したい方 結論 ガウスの発散定理は、 湧き出し量についての表面積視点と体積視点の言い換え 微小要素が打ち消し合って、外側の値だけが残る という２点を理解すれば、公式を忘れても、即座に導出できる(ストークスの定理の理解も同様)。 ...

対象読者 ストークスの定理を視覚的に理解し、しっかり暗記したい方 結論 ストークスの定理は、 回転量についての経路視点と面積視点の言い換え 微小要素が打ち消し合って、外側の値だけが残る という2点を理解すれば、公式を忘れても、即座に導出できる(ガウスの発散定理の理解も同様)。 ...

対象読者 論理学の背景を知りたい方 結論 論理学とは、人類共通の思考方法を形式化し、その性質を研究する学問である。その基礎となるのは、真理値と呼ばれる真か偽かいずれかをとる値である。 ...

空集合はあらゆる集合に含まれる。なぜなのか。 そう決めれば都合がいいから 対偶で証明できる などと説明されがちであるが、否！ 定義を追えば普通に証明できる。 空集合特有の約束事や対偶なぞ必要ない。 ...

コンピュータではデータを二進数で表現する。 では、その足し算はどのような回路で実現されているのだろうか。 本当は複数桁の2進数の足し算 を考えたいところである。 しかし、まずは最小の、1桁同士の2進数の簡単な足し算について考えるべきだろう。 難しい問題は分割して、より簡単な小さい問題から考えるとよいからだ。 そして、これを実現する回路が「半加算回路」である。 ...

半加算回路はAND・OR・NOTだけで表現できた。 では、この3種類の回路をすべて用意しなければならないのだろうか。 実は、ANDとNOTを組み合わせたNAND回路だけでもAND・OR・NOTをすべて構成できる。 つまり、半加算回路も理論上はNANDだけで作れる。 ...

半加算回路は、 1桁の2進数を足し合わせて和と繰り上がりを求められる。 しかし、これだけでは複数桁の足し算はできない。 そこで必要になるのが「全加算回路」である。 ...

対象読者 数学の「論理と集合」が分かる方 結論 本記事では、 自然数と偶数の数は同じ 自然数と奇数の数は同じ であることをそれぞれ示す。 偶数と奇数と自然数が同じ要素数というのは、「部分と全体と同じサイズ」という直感に反する異常事態である。 例えば、人口を男性と女性に分けたとき、男性と女性は全人口よりも少なくなるのが当たり前の感覚だ。 ...

対象読者 高校数学の「論理と集合」が分かる方 結論 自己言及とは、「この主張は○○だ」のように自身を含む主張のことだ。このような主張はおかしな結論を導く。これが自己言及のパラドックスだ。 ...